- 이체 문제 분석

1. 질량 중심 $\mathbf{R}$ #

전체 질량 $M$ $$M = m_1 + m_2$$

질량 중심 $\mathbf{R}$ $$M \mathbf{R} = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2$$

따라서, $$\mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}\tag{1}$$

2. 상대 거리 $\mathbf{r}$ #

두 물체 사이의 상대 거리 $$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2\tag{2}$$

3. 두 물체 시스템 운동 분석 #

운동은 질량 중심의 운동과 두 물체 사이의 상대 운동의 조합으로 분석할 수 있습니다.

방정식 (1)과 (2)로부터 $\mathbf{r}_1$과 $\mathbf{r}_2$를 $\mathbf{R}$과 $\mathbf{r}$의 항으로 표현할 수 있습니다:

$$\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} + \frac{m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{r}\tag{3}$$

$$\mathbf{r}_2 = \mathbf{R} - \frac{m_1}{m_1 + m_2}\mathbf{r}\tag{4}$$

따라서 $\mathbf{R}$과 $\mathbf{r}$을 알면 $\mathbf{r}_1$과 $\mathbf{r}_2$를 결정할 수 있습니다.

4. 질량 중심 관성 기준계 #

(1) 질량 중심 기준계에서의 운동 분석 #

질량 중심을 관성 기준계로 사용할 때, $\mathbf{R}=0$이며, 방정식 (3)과 (4)는 다음과 같이 단순화됩니다:

$$\mathbf{r}_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{r}\tag{5}$$

$$\mathbf{r}_2 = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}\mathbf{r}\tag{6}$$

(2) 운동 에너지 #

질량 중심 기준계에서 질량 중심의 운동 에너지는 0입니다. 그리고 식(5),식(6)으로 부터 운동에너지를 구하여 더하면,

$$K.E. = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}|\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2|^2$$

환산 질량 $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$를 정의하면,

$$K.E. = \frac{1}{2} \mu |\mathbf{v}|^2, \mathbf{v}= \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2\tag{7}$$

5. 상대 운동량 $\mathbf{p}$ 정의 #

방정식 (5)와 (6)으로부터,

$$m_1 \mathbf{r}_1 = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{r}$$

$$m_2 \mathbf{r}_2 = -\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{r}$$

시간에 대해 미분하면,

$$\mathbf{p}_1 = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{v}\tag{8-1}$$

$$\mathbf{p}_2 = -\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{v}\tag{8-2}$$

이로부터 상대 운동량 $\mathbf{p}$를 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

$$\mathbf{p}=\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{v}=\mu\mathbf{v\tag{8-3}} $$

따라서 방정식 (7)은 다음과 같이 됩니다:

$$K.E. = \frac{|\mathbf{p}|^2}{2\mu}\tag{9}$$

6. 상대 운동 분석 ($\mu$, $\mathbf{r}$, $\mathbf{p}$) #

방사 운동 $\mathbf{p}_r$이 회전 운동 $\mathbf{p}_l$에 수직이므로, $$|\mathbf{p}|^2 = |\mathbf{p}_r|^2 + |\mathbf{p}_l|^2$$

따라서 방정식 (9)는 최종적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$K.E. = \frac{|\mathbf{p}_r|^2}{2\mu} + \frac{|\mathbf{p}_l|^2}{2\mu}\tag{10}$$

7. 질량 중심 기준계에서의 해밀토니안 $H$ #

$$H = \frac{|\mathbf{p}_r|^2}{2\mu} + \frac{|\mathbf{p}_l|^2}{2\mu} + V(|\mathbf{r}|)\tag{11}$$

8. 수소 원자의 해밀토니안 #

수소 원자의 경우, $m_e \ll m_p$이므로 $\mu \approx m_e = m$이고, $V(|\mathbf{r}|) = -\frac{e^2}{|\mathbf{r}|}$ (cgs 단위계).

$$H = \frac{|\mathbf{p}_r|^2}{2m} + \frac{|\mathbf{p}_l|^2}{2m} -\frac{e^2}{|\mathbf{r}|}\tag{12}$$

여기에서 유의할점은 환산질량 $\mu$의 값은 전자의 질량 $m_e$에 근사하므로 수소 원자핵을 원점으로 하는 전자의 운동을 기술한다고 볼수있다는 것입니다.