- 평행이동 연산자

1. 공간에서의 평행이동 대칭성 #

두 상태 사이의 내적은 평행이동 변환 하에서 불변합니다:

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\phi|T^{\dagger}(\Delta x’)T(\Delta x)|\psi\rangle$

여기서 $T(\Delta x’)|x’\rangle = |x’+\Delta x’\rangle$입니다.

따라서, $T^{\dagger}(\Delta x’)T(\Delta x) = 1$

이는 $T(\Delta x’)$가 유니타리 연산자임을 의미합니다.

2. 유니타리 연산자의 일반적 형태 #

유니타리 연산자 $U$의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:

$U = e^{ik}$, 여기서 $k^{\dagger} = k$

3. 평행이동 연산자의 표현 #

평행이동 연산자는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$T(\Delta x’) = e^{i\Delta x’k}$

4. 평행이동 연산자의 합성 #

$T(\Delta x’_2)T(\Delta x’_1) = T(\Delta x’_1 + \Delta x’_2)$가 성립하는지 확인해 봅시다:

$$T(\Delta x’_2)T(\Delta x’_1) = e^{i\Delta x’_2k}e^{i\Delta x’_1k} = e^{i(\Delta x’_1+\Delta x’_2)k}$$

이를 통해 합성 속성이 성립함을 확인할 수 있습니다.

5. 평행이동 연산자의 근사 #

미소량의 평행이동에 대해서는 다음과 같이 근사할 수 있습니다:

$T(\Delta x’) \approx 1 + ik\Delta x'$

6. 유니타리 등가 변환 #

변환 $|x’\rangle \to |x’+ \Delta x’\rangle$ (이는 $T(\Delta x’)|x’\rangle$와 같음)은 다음에 해당합니다:

$x|x’\rangle = x T^{\dagger}(\Delta x’)T(\Delta x’)|x’\rangle = x’|x’\rangle$

$x T^{\dagger}(\Delta x’)T(\Delta x’)|x’\rangle = x’|x’\rangle$에서, 양변에 $T(\Delta x’)$를 곱하면,

$T(\Delta x’)x T^{\dagger}(\Delta x’)T(\Delta x’)|x’\rangle = x’T(\Delta x’)|x’\rangle$

$T(\Delta x’)|x’\rangle = |x’+ \Delta x’\rangle$이므로,

$T(\Delta x’)x T^{\dagger}(\Delta x’)|x’+ \Delta x’\rangle = x’|x’+ \Delta x’\rangle$

따라서, $x \to T(\Delta x’)x T^{\dagger}(\Delta x’)$

7. 위치 연산자에 대한 근사 계산 #

근사 $T(\Delta x’) = 1 + ik \Delta x’$를 사용하면,

이를 상태 $|x’+ \Delta x’\rangle$에 적용하면,

따라서, $\Delta x’- i \Delta x’[x,k]=0$이 성립하며, 이는 $p=-\hbar k$ 또는 $k = -\frac{p}{\hbar}$를 의미합니다.

8. 평행이동 연산자의 지수 표현 #

$T(\Delta x’) = e^{ik \Delta x’}$이고 $k = -\frac{p}{\hbar}$이므로,

$$T(\Delta x’) = e^{-\frac{i}{\hbar}p \Delta x’}$$

9. 평행이동의 브라 관점 #

$$ \langle x’| T(\Delta x’) = \langle x’-\Delta x’|$$

$$\leftrightarrow$$

$$ T^{-1}(\Delta x’)|x’\rangle=T(-\Delta x’)|x’\rangle = |x’ - \Delta x’\rangle$$

10. 함수의 이동 #

$$\langle x|T(\Delta x)|\psi\rangle = \langle x-\Delta x|\psi\rangle = \psi(x-\Delta x)$$