- 시간 진화 연산자

1. 시간 대칭성: 슈뢰딩거 묘사 #

두 상태 사이의 내적은 시간 진화 하에서 보존되어야 합니다:

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\phi|U^{\dagger}(\Delta t)U(\Delta t)|\psi\rangle$, 여기서 $U(\Delta t)|\psi\rangle = |\psi;\Delta t\rangle$

따라서, $U^{\dagger}(\Delta t)U(\Delta t) = 1$

이는 $U(\Delta t)$가 유니타리 연산자임을 의미합니다.

2. 유니타리 연산자 $U$의 일반적 형태 #

$U=e^{i\Omega}$, 여기서 $\Omega^{\dagger} = \Omega$

3. $U(\Delta t)$의 표현 #

$U(\Delta t) = e^{i\Delta t \Omega}$

4. 군 성질 검증 #

$U(\Delta t_2)U(\Delta t_1) = U(\Delta t_1 + \Delta t_2)$의 성립:

$$U(\Delta t_2)U(\Delta t_1) = e^{i\Delta t_2 \Omega}e^{i\Delta t_1 \Omega} = e^{i(\Delta t_1+\Delta t_2)\Omega}$$

5. $U(\Delta t)$의 근사 #

작은 $\Delta t$에 대해:

$U(\Delta t) \approx 1 + i\Omega \Delta t$

6. 유니타리 등가 변환: 하이젠베르크 묘사 #

$|x’\rangle \to |x’; \Delta t\rangle( = U^{\dagger}(\Delta t)|x’\rangle )$ $\leftrightarrow$ $x|x’\rangle = x U(\Delta t)U^{\dagger}(\Delta t)|x’\rangle = x’|x’\rangle$

$x U(\Delta t)U^{\dagger}(\Delta t)|x’\rangle = x’|x’\rangle$에서, 양변에 $U^{\dagger}(\Delta t)$를 곱하면:

$U^{\dagger}(\Delta t)x U(\Delta t)U^{\dagger}(\Delta t)|x’\rangle = x’U^{\dagger}(\Delta t)|x’\rangle$

$U^{\dagger}(\Delta t)|x’\rangle = |x’; \Delta t\rangle$이므로:

$U^{\dagger}(\Delta t)x U(\Delta t)|x’; \Delta t\rangle = x(\Delta t)|x’; \Delta t\rangle$

따라서, $x \to x(\Delta t) = U^{\dagger}(\Delta t)x U(\Delta t)$

7. 유니타리 등가 변환의 근사 계산 #

$U(\Delta t) = 1 + i\Omega \Delta t$를 사용하면:

따라서, $-\Delta x+ i \Delta t[x,\Omega]=0$, 이는 $i[x,\Omega] = \frac{\Delta x}{\Delta t}$를 의미합니다.

이로부터 $i \hbar \frac{\Delta x}{\Delta t} = [x,-\hbar \Omega]$, 그래서 $[x,H] = [x,-\hbar \Omega]$

따라서, $\Omega = -\frac{H}{\hbar}$

8. $U(\Delta t)$의 지수 표현 #

$U(\Delta t) = e^{i\Omega \Delta t}$이고 $\Omega = -\frac{H}{\hbar}$이므로:

$$U(\Delta t) = e^{-\frac{i}{\hbar}H \Delta t}$$

이것이 양자역학에서의 시간 진화 연산자로, 양자 상태가 해밀토니안 $H$에 따라 시간에 따라 어떻게 진화하는지 보여줍니다.