- 리 대수 so(3)에서의 회전
1. so(3)의 기저
리 대수 so(3)는 세 가지 요소로 구성된 기저를 가집니다: $L_x$, $L_y$, 그리고 $L_z$.
- $L_x$: $yz$-평면에서의 회전을 나타냅니다 ($\sigma_y$와 유사)
- $L_y$: $zx$-평면에서의 회전을 나타냅니다 ($\sigma_y$와 유사)
- $L_z$: $xy$-평면에서의 회전을 나타냅니다 ($\sigma_y$와 유사)
이러한 기저 요소들은 행렬로 명시적으로 표현될 수 있습니다:
$$L_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$$$$L_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$L_z = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$임의의 원소 $X \in \text{so}(3)$에 대해, 우리는 이를 선형 조합으로 표현할 수 있습니다: $X = xL_x + yL_y + zL_z$, 여기서 $[X] = (x, y, z)$
만약 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$와 $\mathbf{L} = (L_x, L_y, L_z)$를 정의한다면: $\mathbf{n} \cdot \mathbf{L} = n_xL_x + n_yL_y + n_zL_z \in \text{so}(3)$
2. 회전 연산자
회전 연산자는 지수 매핑을 사용하여 표현할 수 있습니다:
$$\begin{align*} R(\theta) &= e^{-i\theta \mathbf{n}\cdot \mathbf{L}}\\ &= 1 - i\sin\theta (\mathbf{n}\cdot\mathbf{L}) - (1-\cos\theta)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{L})^2 \end{align*}$$여기서 우리는 다음 속성을 사용합니다: $(\mathbf{n}\cdot\mathbf{L})^3 = \mathbf{n}\cdot\mathbf{L}$
명시적으로, 회전 행렬 $R(\theta, \hat{\mathbf{n}})$는 다음과 같이 작성할 수 있습니다:
$$R(\theta, \hat{\mathbf{n}}) =$$
$(\cos\theta + (1-\cos\theta)n_x^2$, $\quad -\sin\theta n_z + (1-\cos\theta)n_x n_y $, $\quad \sin\theta n_y + (1-\cos\theta)n_x n_z)$
$(\sin\theta n_z + (1-\cos\theta)n_x n_y$ ,$\quad \cos\theta + (1-\cos\theta)n_y^2 $, $\quad -\sin\theta n_x + (1-\cos\theta)n_y n_z)$
$(-\sin\theta n_y + (1-\cos\theta)n_x n_z $,$\quad \sin\theta n_x + (1-\cos\theta)n_y n_z$, $\quad \cos\theta + (1-\cos\theta)n_z^2)$
$$$$
이 행렬은 단위 벡터 $\hat{\mathbf{n}}$에 의해 정의된 축을 중심으로 각도 $\theta$만큼 회전을 나타냅니다.