- 스핀 연산자 Sz를 이용한 유클리드 공간에서의 회전 행렬

소개

이 문서는 회전축 $n_z$를 따라 스핀 연산자 $S_z$를 사용하여 유클리드 공간에서 회전 행렬을 표현하는 방법을 탐구합니다.

각운동량 연산자 $L_z$는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$L_z = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

이 연산자는 고유값 $+1$, $0$, $-1$을 가지며, 대응하는 고유벡터는 다음과 같습니다:

$$|+1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, i, 0)$$ $$|0\rangle = (0, 0, 1)$$ $$|-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i, 0)$$

표준 기저 ${(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}$에서 고유벡터 기저 ${\frac{1}{\sqrt{2}}(1, i, 0), (0, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i, 0)}$로 변환해야 합니다.

유니타리 변환 행렬 $U$는 다음과 같습니다:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

스핀 연산자 $S_z$는 변환된 기저에서 $L_z$의 표현입니다:

$$\langle a’|L_z|b’\rangle = \langle a|U^{\dagger}L_zU|b\rangle$$

따라서: $$S_z = U^{\dagger}L_zU$$

그리고 반대로: $$L_z = US_zU^{\dagger}$$

$n_z$ 축을 중심으로 각도 $\theta$만큼 회전하는 회전 행렬은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$R(\theta, n_z) = e^{-i\theta L_z} = e^{-i\theta US_zU^{\dagger}} = Ue^{-i\theta S_z}U^{\dagger}$$

이 공식을 통해 스핀 연산자 $S_z$를 사용하여 유클리드 공간에서 회전 행렬을 계산할 수 있습니다.