- 파울리 행렬의 성질

1. 파울리 행렬의 기본 성질 #

파울리 행렬은 다음과 같이 정의됩니다:

기저 ${|+\rangle, |-\rangle}\ $에서:

• $\sigma_z |+\rangle = (+1) |+\rangle$
• $\sigma_z |-\rangle = (-1) |-\rangle$

2. 고유값과 고유벡터 #

$\sigma_x$ 에 대해, $$\sigma_x(a|+\rangle + b|-\rangle) = \lambda (a|+\rangle + b|-\rangle)$$

이것으로부터,

• $\lambda a = \langle+|\sigma_x(a|+\rangle + b|-\rangle) = b$
• $\lambda b = \langle-|\sigma_x(a|+\rangle + b|-\rangle) = a$

$a = \lambda b \ $이고 $b = \lambda a \ $이므로, $\lambda^2 = 1\ $을 얻어 $\lambda = \pm 1\ $입니다.

$\lambda = 1\ $일 때, $\quad a = b\ $이므로 정규화된 고유벡터는 $|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$

$\lambda = -1\ $일 때, $\quad a = -b\ $이므로 정규화된 고유벡터는 $|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle - |-\rangle)$

$\sigma_y\ $에 대해 같은 방법을 적용하면,

• $\lambda a = -i b$
• $\lambda b = i a$

따라서 $\lambda = \pm 1$

$\lambda = 1\ $일 때, $b = i a\ $이므로 정규화된 고유벡터는 $|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + i|-\rangle)$

$\lambda = -1\ $일 때, $b = -i a\ $이므로 정규화된 고유벡터는 $|-\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle - i|-\rangle)$

3. 올림과 내림 연산자 #

$\sigma_+ = \sigma_x + i\sigma_y\ $와 $\sigma_- = \sigma_x - i\sigma_y\ $를 정의하면:

$\sigma_+ \ $에 대해, $\langle+|\sigma_+|+\rangle = 0$이고 $\langle-|\sigma_+|+\rangle = 0\ $이므로 $$\sigma_+ |+\rangle = \langle+|\sigma_+|+\rangle |+\rangle + \langle-|\sigma_+|+\rangle |-\rangle = 0$$

$\langle+|\sigma_+|-\rangle = 2$이고 $\langle-|\sigma_+|-\rangle = 0\ $이므로
$$\sigma_+ |-\rangle = \langle+|\sigma_+|-\rangle |+\rangle + \langle-|\sigma_+|+\rangle |-\rangle = 2|+\rangle$$

유사하게,

• $\sigma_- |+\rangle = 2|-\rangle$
• $\sigma_- |-\rangle = 0$

4. 교환 및 반교환 관계 #

교환자 관계: $[\sigma_i, \sigma_j] = 2i \sum_{k} \epsilon_{ijk} \sigma_k$

이는 파울리 행렬이 벡터 연산자임을 보여줍니다.

반교환자 관계: $\{\sigma_i, \sigma_j\} = \sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i = 2\delta_{ij}$

따라서:

$$\sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}([\sigma_i, \sigma_j] + \{\sigma_i, \sigma_j\})$$

$$= \delta_{ij} + i\sum_{k}\epsilon_{ijk}\sigma_k$$

이는 다음으로 이어집니다: $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{\sigma}$

5. 지수 항등식 #

$$e^{-i\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}} = \cos\theta - i\sin\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}$$

이는 복소평면에서의 회전인 오일러 항등식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$의 일반화로 회전 축 $\mathbf{n}$(y축에 대응) 에 수직인 측정 축(z축에 대응)의 고유벡터 공간의 벡터를 $\theta$ 만큼 회전시킴을 의미한다.

6. 기저 행렬의 선택 #

기저 행렬의 선택은 회전 각도에 대한 이해에 영향을 미칩니다:

(1) 고유값 $\pm 1$을 가진 $\{\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ 사용: $$e^{-i\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}} = \cos\theta - i\sin\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}$$

(2) 고유값 $\pm \frac{1}{2}$을 가진 $\{\frac{1}{2}\sigma_x, \frac{1}{2}\sigma_y, \frac{1}{2}\sigma_z\}$ 사용: $$e^{-i2\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\frac{1}{2}\sigma}} = \cos\theta - i\sin\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}$$

또는 $$e^{-i\theta’ \mathbf{n} \cdot \mathbf{\frac{1}{2}\sigma}} = \cos\frac{\theta’}{2} - 2i\sin\frac{\theta’}{2} \mathbf{n} \cdot \mathbf{\frac{1}{2}\sigma}$$

$\mathbf{\tilde{\sigma}} = \mathbf{\frac{1}{2}\sigma}$로 정의하고 $\theta’ \to \theta$로 두면, $$e^{-i\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}}} = \cos\frac{\theta}{2} - 2i\sin\frac{\theta}{2} \mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}}$$