- 파울리 행렬과 회전
1. 트레이스가 없는 에르미트 행렬의 벡터 공간
(1) 기저: ${\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z}$
- $\mathbf{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$
- $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$
- $\mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma} = n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z \in V$
- 내적: $X \cdot Y = \frac{1}{2}\text{tr}(XY)$
(2) 기저: ${\frac{1}{2}\sigma_x, \frac{1}{2}\sigma_y, \frac{1}{2}\sigma_z}$
- $\tilde{\sigma}_x = \frac{1}{2}\sigma_x$, $\tilde{\sigma}_y = \frac{1}{2}\sigma_y$, $\tilde{\sigma}_z = \frac{1}{2}\sigma_z$
- $\mathbf{\tilde{\sigma}} = (\tilde{\sigma}_x, \tilde{\sigma}_y, \tilde{\sigma}_z)$
- $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$
- $\mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}} = n_x \tilde{\sigma}_x + n_y \tilde{\sigma}_y + n_z \tilde{\sigma}_z \in V$
- 내적: $X \cdot Y = 2 \text{tr}(XY)$
2. 기저 ${|+\rangle_s, |-\rangle_s}$를 가진 벡터 공간 $S$에서의 회전
복소 평면과 좌표 평면에서의 회전
- $e^{i\theta}$: 복소 평면에서 복소수의 회전
- $e^{-i\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma}}$: 회전 축 $\mathbf{n}$($y$-축에 대응)에 대하여 수직인 측정 축$\mathbf{n’}(S)$($z$-축 대응)의 고유벡터 공간( ${|+\rangle_s, |-\rangle_s}$를 기저로 하는 벡터 공간 $S$)의 벡터를 $\theta$ 만큼 회전
예): $\mathbf{n} = (0, 1, 0) \Rightarrow \mathbf{n} \cdot \mathbf{\sigma} = \sigma_y$
$$e^{-i\theta\sigma_y} = \cos\theta - i\sin\theta\sigma_y = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$예): $\mathbf{n} = (0, 1, 0) \Rightarrow \mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}} = \tilde{\sigma}_y$
$$\begin{align*} e^{-i\theta\tilde{\sigma}_y} &= \cos\frac{\theta}{2} - i\sin\frac{\theta}{2}\sigma_y\\ &= \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{align*}$$3. 벡터 공간 $V$에서 트레이스가 없는 에르미트 행렬의 회전
기저 ${\tilde{\sigma}_x, \tilde{\sigma}_y, \tilde{\sigma}_z}$를 가진 $X \in V$에 대해:
- $U(R(\theta)) = e^{-i\theta \mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}}}$
- $R(\theta)[X] \leftrightarrow U(R)XU^{\dagger}(R)$
- $\mathbf{n} = (0,0,1) \Rightarrow \mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}} = \tilde{\sigma}_z$
이 경우, $[X] = \left [\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}\right ] = (x,y,z)$예): $\mathbf{n} \cdot \mathbf{\tilde{\sigma}} = \tilde{\sigma}_z$, $U(R) = e^{-i\theta\tilde{\sigma}_z}$, $X=\sigma_x$
$$X' = U(R)XU^{\dagger}(R) = \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\theta} \\ e^{i\theta} & 0 \end{pmatrix}$$$$= \begin{pmatrix} 0 & \cos\theta - i\sin\theta \\ \cos\theta + i\sin\theta & 0 \end{pmatrix}$$이는 다음을 의미합니다: $(1,0,0) \rightarrow (\cos\theta, \sin\theta, 0)$
중요 참고사항:
- 벡터 공간 $V$에서의 벡터의 좌표는 $\mathbf{n}$,즉 축의 표현이고 회전 축도 같은 형식의 표현임에 유의해야합니다.
- 이 설명은 축소된 플랑크 상수 $\hbar = 1$로 설정하여 이해할 수 있습니다.