- 양자역학에서의 정준 교환 관계

정준 교환 관계 소개 #

정준 교환 관계는 양자역학의 기본 원리 중 하나로, 위치 연산자와 운동량 연산자 사이의 관계를 확립합니다.

에너지 고유상태로부터의 유도 #

에너지 고유상태로부터 시작해봅시다:

$$H|i\rangle = E_i |i\rangle, \quad H|f\rangle = E_f |f\rangle$$

여기서 에너지 차이는 아인슈타인-플랑크 관계를 따릅니다:

$$E_f - E_i = \hbar \omega$$

교환자 분석 #

교환자 $[x,H]$의 행렬 요소를 살펴봅시다:

$$\langle i|[x,H]|f\rangle = (E_f - E_i) \langle i|x|f\rangle = \hbar \omega \langle i|x|f\rangle$$

$[x,H]$가 $\langle i|x|f\rangle$의 시간 미분에 비례한다는 것을 관찰할 수 있으며, 이는 다음을 의미합니다:

$$\frac{d\langle i|x|f\rangle}{dt} \propto \hbar \omega \langle i|x|f\rangle$$

이로부터 다음이 도출됩니다:

$$\langle i|x|f\rangle = x_0 e^{c \hbar \omega t},\quad x = x_H = e^{\frac{i}{\hbar}Ht}x_S e^{-\frac{i}{\hbar}Ht},$$ $$ x_0 = \bra{i}x_S\ket{f}$$

여기서 $c$는 상수입니다.

상수 결정 #

만약 $c$가 실수라면, $\langle i|x|f\rangle$는 무한대나 0에 접근하여 시간 대칭성을 깨뜨릴 것입니다. 따라서 $c$는 순허수여야 합니다. 실제로 $c = -i/\hbar$입니다. 이것은 하이젠베르크 묘사인

$$\bra{i}e^{\frac{i}{\hbar}Ht}x_0 e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\ket{f} = x_0 e^{-i\omega t}$$

로부터 도출할 수 있습니다.

이로부터:

$$\langle i|x|f\rangle = x_0 e^{-i\omega t}$$

그리고 결과적으로,

$$\langle i|\frac{dx}{dt}|f\rangle = -i\omega \langle i|x|f\rangle$$

교환 관계 유도 #

따라서,

$$\langle i|[x, H]|f\rangle = i\hbar\langle i|\frac{dx}{dt}|f\rangle$$

이는 다음을 의미합니다.

$$[x,H] = i\hbar \frac{dx}{dt} = i\hbar\frac{p}{m}$$

$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$를 대입하면:

$$[x,H] = \left[x,\frac{p^2}{2m}\right] = i\hbar\frac{p}{m}$$

이는 다음을 의미합니다.

$$[x,p^2] = 2i\hbar p$$

교환자의 곱셈 법칙을 사용하면,

$$p[x,p]+[x,p]p = 2i\hbar p$$

최종 결과 #

이로부터 정준 교환 관계를 유도할 수 있습니다.

$$[x,p] = i\hbar$$

이 기본적인 관계는 양자역학의 핵심이며 하이젠베르크 불확정성 원리로 이어집니다.