- 푸리에 급수에서 푸리에 변환으로의 발전

서론 #

이 문서는 양자역학과 신호처리에서 기본이 되는 푸리에 급수에서 푸리에 변환으로의 수학적 발전 과정을 설명합니다.

벡터 기저 표현으로서의 푸리에 급수 #

벡터 기저 형태의 푸리에 급수 표현은 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

$$|\psi\rangle = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \psi(n)|n\rangle$$

이 합에 면적의 의미를 부여하기 위해, $n$을 x축 상의 값 $x’$로 볼 수 있습니다:

$$|\psi\rangle = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Delta x’ \psi(n \Delta x’) |n \Delta x’\rangle$$

여기서 $\Delta x’ = 1$입니다.

$\Delta x’ \to 0$이고 $n \Delta x’ = x’$일 때, 이를 적분으로 표현할 수 있습니다:

$$|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx’ \psi(x’) |x’\rangle$$

완비성 관계를 이용한 전개 #

완비성 관계 $1 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |n\rangle\langle n|$을 사용하면:

$$\tag{1}$$

푸리에 급수의 기저 함수 #

푸리에 급수에서 주기 $L/n$을 가진 기저 함수는 다음과 같습니다:

$$\langle x|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{i\frac{2\pi}{L/n} x}$$

파수 $k_n = \frac{2\pi}{L/n}$로 정의하면:

$$\Delta k = k_{n+1} - k_n = \frac{2\pi}{L}, \quad k_n = n \Delta k$$

$p=\hbar k$이므로:

$$p_n = \frac{2\pi\hbar}{L/n}, \quad \Delta p = p_{n+1} - p_n = \frac{2\pi\hbar}{L},$$

$$p_n = n \Delta p$$

따라서:

$$\langle x|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{i\frac{2\pi}{L/n} x} = \frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p_n}{\hbar} x}$$

$$\langle n|x\rangle = \frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p_n}{\hbar} x}$$

푸리에 변환의 유도 #

이 표현식들을 방정식 (1)에 대입하면:

$\Delta p \to 0$ (이는 $L \to \infty$일 때 발생하며, $p_n \to p$)일 때:

푸리에 변환 쌍 #

이로부터 푸리에 변환 쌍을 얻을 수 있습니다:

$$\langle p|\psi\rangle = \tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi(x)e^{-i \frac{p}{\hbar} x}$$

$$\langle x|\psi\rangle = \psi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp \tilde{\psi}(p) e^{i \frac{p}{\hbar} x}$$

이 방정식들은 푸리에 변환과 그 역변환을 나타내며, 양자역학에서 위치 표현과 운동량 표현 사이의 변환에 기본이 됩니다.