- 연속 스펙트럼: 벡터 공간에서의 정규화와 완비성
연속 스펙트럼에서의 정규화
연속 스펙트럼을 가진 벡터 공간에서 상태는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$$|\psi\rangle = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Delta x\ \psi(n\Delta x)|n\Delta x\rangle$$
$$|\phi\rangle = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \Delta x\ \phi(m\Delta x)|m\Delta x\rangle$$
이 상태들 사이의 내적은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
$$\langle\phi|\psi\rangle = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty} $$
$$\left (\ \Delta x \ \phi^*(m\Delta x) \ \psi(n\Delta x) \ \Delta x \ \langle m\Delta x|n\Delta x\rangle\ \right )$$
$m \neq n$일 때
$$\langle m\Delta x|n\Delta x\rangle = 0 \tag{1}$$
이므로 위 표현식은 다음과 같이 간소화됩니다:
$$\begin{align} \langle\phi|\psi\rangle = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} &\Delta x \ \phi^*(n\Delta x) \ \psi(n\Delta x)\\ &\quad \left ( \Delta x \ \langle n\Delta x|n\Delta x\rangle \right ) \end{align}$$만약
$$\Delta x \ \langle n\Delta x|n\Delta x\rangle = 1\tag{2}$$
로 정규화한다면:
$$\begin{align} \langle\phi|\psi\rangle &= \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Delta x \ \phi^*(n\Delta x) \ \psi(n\Delta x) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^*(x') \ \psi(x) \ \delta(x'-x) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^*(x) \ \psi(x) \end{align}$$$$\tag{3}$$
여기서 $\lim_{\Delta x \to 0} m\Delta x = x’$, $\lim_{\Delta x \to 0} n\Delta x = x$이며, 식 (1)과 (2)로부터
$$\lim_{\Delta x \to 0} \ \langle m\Delta x|n\Delta x\rangle = \langle x’|x\rangle = \delta(x’-x)$$
$$\tag{4}$$
를 얻습니다.
완비성 관계
$\phi^*(x) = \langle\phi|x\rangle$와 $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$이므로, 식 (3)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:
$$\begin{align} \langle\phi|\psi\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \langle\phi|x\rangle \langle x|\psi\rangle \\ &= \langle\phi|\left(\int_{-\infty}^{\infty} dx \ |x\rangle \langle x|\right)|\psi\rangle \end{align}$$따라서, 완비성 관계는 다음과 같습니다:
$$1 = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ |x\rangle \langle x|\tag{5}$$