- 범함수 미분

이 섹션의 목표는 적절한 범함수 미분의 정의를 발견하여, 범함수의 미분을 취하면서도 일반 미적분학과 동일한 미분 규칙을 유지하는 것입니다. 예를 들어, $J[y(x)]$가 $y(x)$의 범함수일 때, $\frac{\delta J}{\delta y}$에 대한 정의를 찾아서 $$\frac{\delta}{\delta y} J^2 = 2J \frac{\delta J}{\delta y}$$ 와 같은 성질이 여전히 성립하기를 원합니다.

정의 #

- 범함수 #

Stone의 국소 범함수 정의(여기서 $f$는 다변수 함수): $$J[y]$$

$$= \int_{x_1}^{x_2} f(x, y(x), y’(x), y’’(x), \ldots, y^{(n)}(x)) \ dx$$

$$= \int_{x_1}^{x_2} f \ dx \tag{1}$$

범함수 $J$는 전체 함수 $y$를 “섭취"하는데, 이 함수는 국소 값 $y(x)$, $y’(x)$ 등을 사용하여 정의되며, 적분을 통해 숫자를 출력합니다. 간단히 말해, 범함수는 입력 함수에 의존하는 숫자입니다.

- 변분 #

범함수의 변분은 입력 함수가 조금 변할 때 범함수가 변하는 양입니다. $y(x) \to y(x) + \delta y(x)$라고 가정하면, $\frac{d}{dx}$가 선형이므로

$$y’(x) \to y’(x) + \frac{d}{dx} \delta y(x) = y’(x) + \delta y’(x),$$

$$y’’(x) \to y’’(x) + \frac{d^2}{dx^2} \delta y(x) = y’’(x) + \delta y’’(x),$$

$$\vdots$$

$$y^{(n)}(x) \to y^{(n)}(x) + \frac{d^n}{dx^n} \delta y(x)$$

$$= y^{(n)}(x) + \delta y^{(n)}(x)\tag{2}$$

따라서 새로운 출력 $J[y + \delta y]$의 피적분 함수는 이전 입력 $y$ 주변에서 다변수 함수의 테일러 전개를 사용하여 1차까지 전개할 수 있습니다.

$$J[y + \delta y] $$ $$= \int_{x_1}^{x_2} f(x, y + \delta y, y’ + \delta y’, \ldots, y^{(n)} + \delta y^{(n)}) \ dx$$

전개하면

$$J[y + \delta y]$$

$$= \int_{x_1}^{x_2} f + \frac{\partial f}{\partial y} \delta y + \cdots + \frac{\partial^{(n)} f}{\partial y^{(n)}} \delta y^{(n)} \ dx$$

$$\tag{3}$$

따라서 범함수의 변분은 정의에 의해 1차까지 취한 새 출력에서 이전 출력을 뺀 것입니다.

$$\delta J = J[y + \delta y] - J[y]$$

단순화하면 $$\delta J$$

$$= \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y} \delta y + \frac{\partial f}{\partial y’} \delta y’ + \cdots + \frac{\partial^{(n)} f}{\partial y^{(n)}} \delta y^{(n)} \ dx$$

$$\tag{4}$$

부분 적분을 사용하여, $\delta y$에 대한 모든 $\frac{d}{dx}$를 $f$로 옮깁니다.

$$\delta J = \frac{\partial f}{\partial y’} \delta y(x)\vert_{x_1}^{x_2} + \frac{\partial f}{\partial y’’} \delta y’(x)\vert_{x_1}^{x_2}$$

$$- \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y’’} \delta y(x) \vert_{x_1}^{x_2} + \cdots$$

$$+ (-1)^{n-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}} \delta y(x) \vert_{x_1}^{x_2}$$

$$+ \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \cdots + (-1)^n\frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}} \right) \delta y(x) \ dx$$

$$\tag{5}$$

범함수 미분 #

일반 다변수 함수 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$에 대해, 우리는

$$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i\tag{6}$$

를 가집니다. 변분 $\delta J$를 유사한 형식으로 다시 쓰고 싶습니다.

$$\delta J = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\delta J}{\delta y}(x) \delta y(x) \ dx\tag{7}$$

고정 끝 조건($\delta y^{(n)}(x_1)= \delta y^{(n)}(x_2)=0$) 하에서, 항을 비교하면

$$\frac{\delta J}{\delta y}$$

$$= \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y’} - \cdots + (-1)^n\frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}}$$

$$\tag{8}$$

$\delta J$가 (7)과 같이 쓰일 수 있는 한, 우리는 좋은 미분 규칙을 가질 것입니다. 예를 들어

$$\delta J^2 \equiv (J + \delta J)^2 - J^2 = 2J\delta J + O((\delta J)^2)$$

$$= \int_{x_1}^{x_2} dx \ 2J \frac{\delta J}{\delta y}(x) \delta y(x)$$

$$\implies \frac{\delta J^2}{\delta y} = 2J \frac{\delta J}{\delta y} \tag{9}$$

주의할 점: 이 범함수 미분의 정의는 좋지만, $f$가 $y$의 높은 차수 미분을 포함할수록 고정 끝 조건이 더 엄격해지고 이 미분이 적용되는 $y$의 범위가 급격히 감소합니다. 따라서 때로는 (5)에 따라 수동으로 변분을 만드는 것이 더 유용할 수 있습니다.

라그랑지안 역학 #

범함수의 피적분 함수가 $y$와 $y’$에만 의존할 때($f(y, y’)$), 범함수 미분은 다음과 같이 단순화됩니다.

$$\frac{\delta J}{\delta y} = \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y’}\tag{10}$$

이 형태는 라그랑지안 역학의 기초입니다. 전형적인 고전 역학 문제에서, 우리는 작용 $S$를 최소화하는데, 이는 구성 함수 $q(t)$의 범함수입니다.

$$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t)) \ dt\tag{11}$$

미분을 0으로 설정하면 오일러-라그랑주 방정식을 얻습니다.

$$\frac{\delta S}{\delta q} = 0 \implies \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\tag{12}$$