- 방향 미분 & 범함수 미분

1. 방향 미분의 정의 #

함수 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$에 대해, $i$번째 표준 기저 벡터 $\mathbf{e}_i$ 방향으로의 방향 미분은 다음과 같이 정의됩니다:

$$ D_{\mathbf{e}_i} f = \frac{\partial f}{\partial x^i} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_i) - f(\mathbf{x})}{h} $$

2. 방향 미분의 선형성 #

방향 미분은 선형성을 갖습니다. 스칼라 $c$에 대해, 다음이 성립합니다:

$$ D_{c \mathbf{e}_i} f $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + h c \mathbf{e}_i) - f(\mathbf{x})}{h} $$

$$ = c D_{\mathbf{e}_i} f $$

방향 $\mathbf{e}_i$와 $\mathbf{e}_j$의 조합에 대해, 다음이 성립합니다:

$$ D_{\mathbf{e}_i + \mathbf{e}_j} f $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_i + h \mathbf{e}_j) - f(\mathbf{x})}{h} $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f( (\mathbf{x} + h \mathbf{e}_j) + h \mathbf{e}_i ) - f(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_j)}{h}$$

$$+ \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_j) - f(\mathbf{x})}{h} $$

$$ = \quad D_{\bsub{e}{i}} f \ + \ D_{\bsub{e}{j}} f $$

3. 임의 방향에서의 방향 미분 #

임의의 방향 $\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i$에 대해, $\mathbf{v}$ 방향으로의 방향 미분은 다음과 같이 주어집니다:

$$ D_{\mathbf{v}} f = D_{v^i \mathbf{e}_i} f $$

$$ = v^i D_{\mathbf{e}_i} f $$

$$ = v^i \frac{\partial f}{\partial x^i} $$

$$ = (\mathbf{v} \cdot \nabla) f$$

, 이는 내적과 $\mathbf{v}$-방향의 증분을 나타냅니다.

4. 범함수 미분 #

함수 $f$를 범함수 $J$로 대체하고 방향 $\mathbf{v}$를 $\delta y$로 대체하면, 범함수 미분은 다음과 같이 정의됩니다:

$$ \delta J = D_{\delta y} J $$ $$ = \int \mathrm{d}x \frac{\delta J}{\delta y}(x) \delta y(x) $$ $$ = \lim_{h \to 0} \frac{J[y + h \delta y] - J[y]}{h} $$