- 벡터 연산자와 구면 텐서의 비교

1. 정의적 특성

$$ [ J_i , V_j ] = \sum_k i\hbar \epsilon_{ijk} V_k $$

또는 동등하게,

$$ [ V_i , J_j ] = \sum_k i\hbar \epsilon_{ijk} V_k $$

$$ [ J_0 , T_q^{(k)} ] = \hbar q T_q^{(k)} $$

그리고

$$ [J_{\pm} , T_q^{(k)}] = \hbar \sqrt{(k \mp q)(k \pm q +1)} T_{q \pm 1}^{(k)} $$

$$ \langle\psi| D^{\dagger}(R) V_i D(R) |\psi\rangle = \langle\psi| (R^T V_i R) |\psi\rangle $$

이는 벡터 연산자가 다음과 같이 변환됨을 의미합니다:

$$ V_i \to V’_i = D^{\dagger}(R) V_i D(R) $$

다음과 같이 설정하면

$$ \mathbf{V} = \begin{pmatrix} V_1 \ V_2 \ V_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{V’} = \begin{pmatrix} V’_1 \ V’_2 \ V’_3 \end{pmatrix} $$

다음을 얻게 됩니다

$$ \mathbf{V’} = R \mathbf{V}, $$

즉,

$$\sub{V’}{i} = D^{\dagger}(R) V_i D(R) = \sum_j R_{ij} V_j$$

$$ D^{\dagger}(R) \sub{T}{q}^{(k)} D(R) = \sum_{q’} \sub{D}{qq’}^{(k)*}(R) \sub{T}{q’}^{(k)} $$