- 구면 텐서에서의 투영 정리

: 벡터 투영 개념을 구면 텐서 표현으로 확장하는 수학적 접근

벡터 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{v}$와 평행한 벡터 $\mathbf{j}$에 투영하는 경우를 고려해 봅시다. 여기서 ‘평행’이란 $\mathbf{v}$가 $\mathbf{j}$의 기저에 의해 ‘완전히’ 표현됨을 의미합니다. $\mathbf{v}$를 $\mathbf{j}$에 투영한 크기는 다음과 같이 주어집니다:

$$\frac{\mathbf{j}}{\lvert\mathbf{j}\rvert} \cdot \mathbf{v}.$$

한편, $\mathbf{v}$의 $q$번째 축으로의 투영을 $v_{q}$로 표시한다면, 그 투영의 일부분은 $\mathbf{v}$가 $\mathbf{j}$ 방향으로 갖는 투영된 크기에 $\mathbf{j}$가 $q$번째 축으로 투영되는 비율을 곱한 것으로도 이해할 수 있습니다. 즉,

$$v_{q} = \left(\frac{\mathbf{j}}{\lvert\mathbf{j}\rvert} \cdot \mathbf{v}\right) \frac{j_q}{\lvert\mathbf{j}\rvert} = \frac{\mathbf{j} \cdot \mathbf{v}}{\lvert\mathbf{j}\rvert^2} \ j_q.$$

이는 사실상 기저의 변환을 의미합니다.

마찬가지로, 구면 텐서의 맥락에서 다음과 같은 관계를 쓸 수 있습니다:

$$\bra{\alpha’, j, m’} \sub{V}{q} \ket{\alpha, j, m}$$

$$ = \bra{\alpha’, j, m’} \frac{\mathbf{J}}{\lvert\mathbf{J}\rvert}\cdot \mathbf{V} \ket{\alpha, j, m}\ \frac{\bra{j,m’} \sub{j}{q} \ket{j,m}}{\lvert\mathbf{J}\rvert}$$

$$= \frac{\bra{\alpha’, j, m’} \mathbf{J}\cdot \mathbf{V} \ket{\alpha, j, m}}{\lvert\mathbf{J}\rvert^{2}}\ \bra{j,m’} \sub{j}{q} \ket{j,m}$$

여기서

$$\lvert\mathbf{J}\rvert^{2} = \langle j,m \mid \mathbf{J}^{2} \mid j,m \rangle = \hbar^{2} \ j(j+1).$$

따라서,

$$\langle \alpha’, j, m’ \mid V_{q} \mid \alpha, j, m \rangle$$

$$= \frac{\langle \alpha’, j, m’ \mid \mathbf{J}\cdot \mathbf{V}\mid \alpha, j, m \rangle}{\hbar^{2}\ j(j+1)}\ \langle j,m’ \mid j_{q} \mid j,m \rangle.$$