- m-선택 규칙 및 구면 텐서 구성

: 구면 텐서의 성질과 m-선택 규칙에 대한 대안적 증명 방법

1. 구면 텐서에서 m-선택 규칙의 또 다른 방법 #

m-선택 규칙을 보는 또 다른 방법은 회전 하에서 $T_{q}^{(k)}\ket{\alpha,jm}$의 변환 성질을 주목하는 것입니다. 즉,

$$ \mathcal{D}T_{q}^{(k)}\ket{\alpha,jm} = \mathcal{D}T_{q}^{(k)}\mathcal{D}^{\dagger} \mathcal{D}\ket{\alpha,jm}.\tag{1} $$

이제 $\mathcal{D}$가 $z$-축 주위의 회전 연산자를 나타낸다고 하면, 방정식 3과 방정식 4에 의해 다음을 얻습니다.

$$ \mathcal{D}(\hat{z},\phi)T_{q}^{(k)}\ket{\alpha,jm} $$

$$ = e^{-iq\phi} e^{-im\phi} T_{q}^{(k)}\ket{\alpha,jm},\tag{2} $$

이는 $q + m = m’$가 아니면 $\ket{\alpha’,j’ m’}$와 직교합니다.

$z$-축 주위의 회전 연산자는 다음과 같이 주어집니다.

$$ \mathcal{D}(z,\phi) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} J_z \phi\right).\tag{3} $$

마찬가지로, 구면 텐서는 회전 하에서 다음과 같이 변환됩니다.

$$ \mathcal{D} \sub{T}{q^{(k)}} \mathcal{D^{\dagger}} = \sum_{q’} \mathcal{D_{q’q}^{(k)}} T_{q’}^{(k)}.\tag{4} $$

방정식 2에서 우리는 다음을 찾습니다.

$$ \mathcal{D}(\hat{z},\phi)\ket{\psi} = e^{-i(q+m)\phi}\ket{\psi}.\tag{5} $$

방정식 3에 의해, 우리는 또한 다음을 가집니다.

$$ \mathcal{D}(\hat{z},\phi)\ket{\psi} = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} J_z \phi\right)\ket{\psi}.\tag{6} $$

따라서, $\ket{\psi}$는 $J_z$의 고유켓이며, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ \ket{\psi} = C \ket{\alpha,j,q+m}.\tag{7} $$

방정식 2에 의해,

$$ \ket{\psi} = T_q^{(k)}\ket{\alpha,jm},\tag{8} $$

우리는 내적 관계식을 얻습니다.

$$ \langle\alpha’,j’m’|T_q^{(k)}|\alpha,jm\rangle $$

$$ = C \langle\alpha’,j’m’|\alpha,j,q+m\rangle.\tag{9} $$

이는 $m’ = q + m$가 아니면, $T_q^{(k)}\ket{\alpha,jm}$가 $\ket{\alpha’,j’m’}$와 직교함을 보여줍니다.

2. 기약 텐서로부터 구면 텐서 구성 #

정리: $X_{q_1}^{(k_1)}$와 $Z_{q_2}^{(k_2)}$가 각각 랭크 $k_1$과 $k_2$의 기약 구면 텐서라고 하자. 그러면,

$$ T_q^{(k)}= \sum_{q_1} \sum_{q_2} \langle k_1 k_2; q_1,q_2 | k_1 k_2; kq\rangle $$

$$ X_{q_1}^{(k_1)} Z_{q_2}^{(k_2)}\tag{10} $$

는 랭크 $k$의 구면 (기약) 텐서입니다.

증명:

$$ \ket{k_1 k_2; kq} = \sum_{q_1,q_2} (\ket{k_1,q_1} \otimes \ket{k_2,q_2} $$

$$ \bra{k_1,q_1}\otimes \bra{k_2,q_2}) \ket{k_1 k_2; kq}.\tag{11} $$

여기서 $(\bra{k_1,q_1} \otimes \bra{k_2,q_2}) \ket{k_1 k_2; kq}$는 클레브시-고르던 계수, $\langle k_1 k_2; q_1 q_2 |k_1 k_2; kq\rangle$입니다.

클레브시-고르던 계수를 사용하여, 방정식 11을 다음과 같이 다시 씁니다.

$$ \ket{k_1 k_2; kq} = \sum_{q_1,q_2} \langle k_1 k_2; q_1 q_2 |k_1 k_2; kq\rangle $$

$$ \ket{k_1,q_1} \otimes \ket{k_2,q_2}.\tag{12} $$

여기서 우리는 $\ket{k_1 k_2; kq}$를 $T_q^{(k)}$로, 그리고 $\ket{k_1,q_1} \otimes \ket{k_2,q_2}$를 $X_{q_1}^{(k_1)} Z_{q_2}^{(k_2)}$로 표현할 수 있습니다. 다음 성질을 사용하여,

$$ (\bra{x} \otimes \bra{y}) (\ket{\alpha} \otimes \ket{\beta}) $$

$$ = \psi_{\alpha}(x) \psi_{\beta}(y).\tag{13} $$

따라서, 우리는 다음을 식별합니다.

$$ T_q^{(k)}
$$

$$ =\sum_{q_1,q_2} \langle k_1 k_2; q_1 q_2 |k_1 k_2; kq\rangle X_{q_1}^{(k_1)} Z_{q_2}^{(k_2)}. $$

$$\tag{14}$$

이는 $T_q^{(k)}$가 랭크 $k$의 기약 구면 텐서임을 보여줍니다.