- 구면 라플라시안 & 각운동량

1. $\tilde{f}(x, y, z)$ & $f(r, \theta, \phi)$ #

$ℝ^3$에서 차수 $l$인 복소수 계수 다항함수의 공간인 $P_l(ℝ^3)$는 다음과 같이 표현될 수 있는 원소 $f(x, y, z)$를 포함합니다: $$\tilde{f}(x, y, z) = \sum_{i+j+k=l} c_{ijk} x^i y^j z^k$$ 이 함수를 구면 좌표계로 다시 쓰면 다음과 같습니다: $$f(r, \theta, \phi) = r^l Y^l(\theta, \phi)$$

2. $Y^l(\theta, \phi)$ & $f(r, \theta, \phi)$ #

$Y^l(\theta, \phi) = f(r=1, \theta, \phi)$이므로, 함수 $Y^l(\theta, \phi)$는 단위 구면에 제한된 $f$로 해석될 수 있습니다.

$f$와 $Y^l$ 사이에는 일대일 대응이 있습니다. 즉, 모든 함수 $f$에 대해 유일한 $Y^l$이 존재하고, 반대로도 마찬가지입니다.

3. 조화 함수 #

함수 $f$가 $\Delta f = 0$을 만족하면, 이는 차수 $l$의 조화 함수라고 하며, 벡터 공간 $H_l(ℝ^3)$을 형성합니다.

구면 좌표계에서 라플라시안을 계산하면 다음과 같습니다: $$\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} ( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} ) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} ( \sin \theta \frac{\partial f }{\partial \theta} )$$

$$+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f }{\partial \phi^2}$$

이 표현식을 다시 쓰면:

$$\Delta f = \frac{\partial^2 f }{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^2} f$$

여기에서

$$\Delta_{S^2} = \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$$

$f = r^l Y^l(\theta, \phi)$와 $\Delta f = 0$을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다:

$$\Delta_{S^2} Y^l(\theta, \phi) = -l(l+1) Y^l(\theta, \phi)$$

4. 구면 조화 함수 벡터 공간 $\tilde{H}_l$ #

$\Delta_{S^2}Y^l(\theta, \phi) = -l(l+1)Y^l(\theta, \phi)$를 만족하는 모든 함수 $Y^l(\theta, \phi)$의 집합은 구면 조화 함수 벡터 공간을 형성하며, 이를 $\tilde{H}_l$로 표기합니다.

$H_l(ℝ^3)$와 $\tilde{H}_l$ 사이에는 일대일 대응이 있으며, 일대일 대응하는 벡터 공간은 동형이므로, 두 벡터 공간은 동형입니다.

5. $\Delta_{S^2}$ & $\mathbf{L}$ #

제곱 적분 가능한 함수의 벡터 공간에서 연산자 $\Delta_{S^2}$를 고려할 때, $Y^l(\theta, \phi)$는 고유값 $-l(l+1)$을 가진 $\Delta_{S^2}$의 고유함수입니다.

각운동량 연산자를 $\mathbf{L^2} = -\hbar^2 \Delta_{S^2}$로 정의하면, 다음을 얻습니다: $$\mathbf{L^2} Y^l_m(\theta, \phi) = \hbar^2 l(l+1) Y^l_m(\theta, \phi)$$ 여기서 추가 매개변수 $m$은 다음과 같은 추가 제약 조건에서 발생합니다: $$L_z Y^l_m(\theta, \phi) = \hbar m Y^l_m(\theta, \phi)$$