- Schouten convention을 사용한 아인슈타인 규약의 텐서식 첨자 표기의 직관성

: 텐서 표기법의 직관성을 높이는 Schouten convention에 대한 설명

~ Schouten convention은 프라임 기호를 첨자에 붙이는 표기법을 말합니다.

1. 반변벡터(contravariant vector)로서의 벡터

벡터공간 $V$에서 기저를 역변환시키는 행렬을 $A$라 할 때 $$e_i = A_i^{j’} e_{j’} = A e_{i’} \quad (e_{i’} = A_{i’}^j e_j = A^{-1} e_i)$$

가 성립하므로
(여기서 $A$, $A^{-1}$ 모두 $A$ 첨자표시로 나타낼 수 있음에 유의하여야 합니다.)

벡터 $v = v^i e_i$에서 $$v = v^i A_i^{j’} e_{j’} = (A_i^{j’} v^i) e_{j’} = v^{j’} e_{j’}$$

즉, $[v]$에서 $[v]’ = A [v]$로 $v$의 기저 표기가 변하기 때문에 contravariant 반변, 즉 기저변환과 반대로 변한다는 의미에서 contravariant vector 반변벡터라는 이름이 붙여졌다고 합니다.

한편, 듀얼벡터 $f$, 즉 쌍대공간 $V^*$ 공간의 벡터 $f$는 covariant vector 공변벡터라 하는데, 이때 기저를 변환시키는 관계식을 행렬 $A$ 첨자를 이용해 나타내면 $$e^i = A^i_{j’} e^{j’}$$

이 되고, 이것을 행렬로 표시하면 $$e^i = (A^{-1})^T e^{i’}$$

가 되므로 $[f]$는 $[f]’ = (A^{-1})^T [f]$가 됩니다.
(여기서 $T$는 transpose 전치를 의미하고 $[\ ]$는 벡터의 기저에 따른 표기를 의미합니다.)

$f$의 기저표기 변화는 $A^{-1}$의 transpose 전치와 관련있는데요, 이것은 원래의 벡터공간의 기저변환과 같이 변한다고 하여 covariant 공변이라고 이름이 지어졌다고 합니다.

그런데 기저가 orthnormal에서 orthonormal로 변환될 때 실수 벡터공간이라면 $A$는 orthogonal 행렬이 되어 $A^{-1} = A^T$가 성립합니다.

이 글의 취지는 아인슈타인 규약을 이용한 텐서식 첨자 표시에 일정한 규칙이 있음을 알 수 있고, 이 표시를 자연스럽게 행렬 표시로 바꿀 수 있음을 보이고자 함입니다.

참고적으로 쌍대공간 행렬은 벡터공간 행렬의 transpose 전치에 해당합니다. 즉,

$A : V \to W , w = Av$ 일때 $A^T : W^* \to V^* , \tilde{v} = A^T \tilde{w}$