- non-degenerate Hermitian form

: 복소 및 실벡터공간에서의 형식과 내적공간의 성질에 대한 분석

복소값을 갖는 non-degenerate Hermitian form $(\cdot \mid \cdot)$ 또는

실수값을 갖는 non-degenerate symmetric form $(\cdot \mid \cdot)$

1. 두번째 인자에서의 선형성 #

$$(u \mid v_1 + c\ v_2) \ =\ (u \mid v_1) \ +\ c\ (u \mid v_2)$$

2. Hermiticity #

복소벡터공간: Hermiticity 즉,

$$(u \mid v) \ =\ (v \mid u)^*$$

또는 실벡터공간: symmetry 즉,

$$(u \mid v) \ =\ (v \mid u)$$

여기에서 유의할점은 1,2에서 $(\cdot \mid \cdot)$의 첫번째 인자는 conjugate-linear가 자동성립한다.

만일 실벡터공간이라면 linear, 즉 $(\cdot \mid \cdot)$는 bilinear form이 된다.

3. non-degeneracy #

non-degneracy: 벡터공간의 모든 벡터 $v$에 대하여 $(w \mid v)$ 값이 0인 경우는 오직 $w=0$ 일때, 즉 모든 $v$에 대하여

$$(u + w \mid v) \ =\ (u \mid v)$$

를 만족하는 벡터 $w$는 0 벡터 뿐일때를 의미한다. 만일 이 조건을 만족하는 0이 아닌 벡터 $w$가 존재할때 $(\cdot \mid \cdot)$는 degenerate 하다고 한다. 이것을 달리 풀어쓰면 벡터 공간의 어떤 서로다른 두 벡터 $v_1, v_2$는 $(\cdot \mid \cdot)$에 의해 항상 구별된다는 것이다. 즉, 벡터공간의 임의의 벡터 $w$에 대해

$$(v_1 \mid w) \ =\ (v_2 \mid w)$$

가 항상 성립하는 서로다른 두 벡터 $v_1, v_2$는 존재하지 않는다는 것을 의미한다.

실벡터공간에서 1,2,3을 만족하면 metric 공간이된다.

즉, 유클리드 공간, 민코프스키 공간은 metric 공간이나 복소공간은 metric 공간이 아니다.

cf.) 수학적으로는 $$d(u, v) \ =\ ||\ u - v\ ||\ =\ \sqrt{(u - v \mid u - v)}$$ 라 정의하면 d는 거리함수가 되고 복소 내적공간도 거리함수 d를 갖는 metric 공간이다.

4. positive-definiteness #

벡터공간의 0이 아닌 모든 벡터 $v$에 대하여

$$(v \mid v) \ >\ 0$$

4번 조건까지 만족해야 내적공간이 된다.

5. 덧붙이는 말 #

따라서 1.2,3은 만족하나 4를 만족하지 않는 실백터공간은 민코프스키 (시)공간(metric 공간, 내적공간 아님)이고, 4까지 만족하는 실벡터공간은 유클리드 내적공간(metric 공간)이고, 1,2,3,4 모두 만족하는 복소벡터공간은 복소내적공간(Hilbert 공간, metric 공간 아님)이다. $(\cdot \mid \cdot)$가 1,2,3,4를 모두 만족하면 내적을 의미하고 1,2,3을 만족하는 실벡터공간에서의 정의라면 metric이다.

특수상대성이론은 민코프스키 시공간에서 각종 관측량을 4벡터로 나타낸다. 양자역학의 상태벡터는 복소내적공간(Hilbert 공간)이다. 특수상대론이 합쳐진 양자장론은 각종 관측량 벡터는 민코프스키 시공간에서 다루고 상태벡터는 Hilbert 공간에서 다룬다고 한다. 기대가 된다.