- A의 Hermitian Adjoint

: Hermitian Adjoint 연산자의 수학적 정의와 성질

1. $L : V \to V^*$ 정의

$L : V \to V^*$, $v \mapsto \tilde{v}$, 여기서 $L(v)(w) = \tilde{v}(w) = (v \mid w)$

여기서 주의할 사항은 $L$이 conjugate-linear map 이라는 점이다.

$A^\dagger$는 $A$의 Hermitian adjoint 행렬을 나타내며 정의는 다음과 같다.

$$A^\dagger : V \to V, \quad A^\dagger = L^{-1} \circ A^T \circ L$$

따라서, $A^\dagger(v) = L^{-1}(A^T(\tilde{v}))$이다. 이때, $A^\dagger(v) = A^\dagger v$, $A^T(\tilde{v}) = A^T\tilde{v}$ 이므로

$$L(A^\dagger v) = A^T\tilde{v}$$

이를 다시 쓰면

$$L(A^\dagger v)(w) = (A^T\tilde{v})(w), \quad w \in V$$

이는 $(A^T\tilde{v})(w) = \tilde{v}(Aw)$ 관계식을 이용하면 다음과 동치이다.

$$( A^\dagger v | w ) = \tilde{v}(Aw) = (v | Aw),$$

즉,

$$( A^\dagger v | w ) = (v | Aw)$$

이 관계식이 대개는 $A^\dagger$의 정의로 사용된다.

$v = e_i$, $w = e_j$일 때

$$(\sub{A^\dagger)}{i}^k e_k | e_j) = (\sub{A^\dagger)}{i}^k )^* \delta_{jk} = (\sub{A^\dagger)}{i}^j)^* = A^{\dagger j*}_{\ i}$$

또,

$$(e_i | A_j^k e_k) = A_j^k \delta_{ik} = A_j^i$$

따라서,

$$\sub{A^{\dagger j*}}{i} = \sub{A}{j}^i \quad \text{or} \quad \sub{A^{j*}}{i} = \sub{A^{\dagger i}}{j}$$