- 벡터와 듀얼벡터

1. 벡터, 듀얼벡터의 성질의 정의를 통한 기저와 듀얼 기저의 정규직교성 유도

제가 보고 있는 An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists 교재에서는 $$ e^i(v) = v^i, \quad f(e_i) = f_i $$ 로 정의합니다.

이 정의를 통해 $$ e^j(e_i) = \delta_i^j $$ 라는 성질을 만족함을 설명합니다.

그러나 함수의 다음 성질(정의)을 이용하면 간단하게 정리할 수 있습니다: $$ (c\ g_1 + g_2)(x) = c\ g_1(x) + g_2(x) $$

$V^{\ast}$의 벡터를 $f$라 할 때, 이는 linear functional 입니다. 따라서, $V^{\ast}$의 기저벡터를 $e^j$라 할 때 $$ e^j(e_i) = \delta_i^j $$ 로 정의하면,

$$ f = f_j e^j, \quad f(e_i) = f_j e^j(e_i) = f_j \delta_i^j = f_i $$ 가 됩니다.

또한, $V$의 벡터 $v = v^j e_j$이고 $$ e^i(v) = e^i(v^j e_j) $$ 입니다.

듀얼벡터 $e^i$는 linear functional 이므로 $$ e^i(v) = e^i(v^j e_j) = v^j e^i(e_j) = v^j \delta_j^i = v^i $$ 가 성립함을 보일 수 있습니다.

또한, 듀얼벡터 $f$ 에 $e_i$ 를 입력하면 $$ f(e_i) = (f_j e^j)(e_i) = f_j e^j(e_i) = f_j \delta_i^j = f_i $$ 즉, 듀얼 공간의 기저만 정의하는 것으로 충분합니다.