- 선형연산자의 전치에 대한 고찰

1. $ A $ 와 $ A^T $ 의 관계 #

$$ e_i = A e_{i’} = A_i^{j’} e_{j’} $$

한편,

$$ e_j(e^{i’}) = e^{i’} (e_j) = e^{i’} (A_j^{k’} e_{k’}) $$

$$ = A_j^{k’} e^{i’} (e_{k’}) = A_j^{k’} \delta_{i’k’} = A_j^{i’} $$

이므로, $ e^{i’} = A_j^{i’} e^j $ 이 성립하고 이것은, $ (e’)^i = \sum_j (A^T)_i^{j} e^j = A^T e^i $ 와 같이 해석된다.

따라서,

$$ A : W \to V,\quad e_{i’} \mapsto e_i $$

$$ \leftrightarrow \quad A^T : V^* \to W^*,\quad e^i \mapsto e^{i’} $$

이 성립한다. 그리고 여기에서는 W=V 인 경우를 다루고 있다.

2. 덧붙이는 말 #

$ e_i = A_i^{j’} e_{j’},; $ $ e^{i’} = A_j^{i’} e^j $ 를 통해 Schouten convention 규약이 매우 잘 작동함을 확인할 수 있다. 또한, $ e_i, e^i $모두 열벡터로 표기하고, 행렬에 있어 $ A_i^j $는 벡터공간, 쌍대공간 모두 i위치가 열, j위치가 행을 나타낸다.