- 전치행렬에 대한 고찰

1. $[A^T]_{B^*} = ([A]_B)^T$ #

벡터공간 $V$에서 행렬 $A$는 다음과 같은 관계식이 성립한다. 즉, $$ \sub{e’}{i} = Ae_i = A_{i}^j e_j $$

이고, 이것은 쌍대공간 $V^{\ast}$에서

$$ e^{i} = \sub{A}{j}^i e’^{\ j} (= A^{T} e’^{\ i}) $$ 에 대응한다.

$A_{j}^{i}$는 $A_{i}^{j}$의 행과 열이 바뀐 전치(transpose)행렬의 인자임을 알 수 있으므로 $$ A_{j}^{i} e’^{\ j} = \sum_j (A^T)_i^{j} e’^{\ j} $$ 로 바꾸어 표기할 수 있고, 이는 $A^T e’^{\ i}$에 해당한다. 즉, $$ A^T e’^{\ i} = \sum_j (A^T)_i^{j} e’^{\ j} $$ 라 나타낼 수 있다.

이를 기저에 관한 행렬표기로 엄밀하게 나타내면, $$ [A^T]_{B^{\ast}} = ([A]_B)^T $$ 가 성립함을 알 수 있다.

2. $(A^T f)(v) = f(Av)$ #

한편, $$ (A^T f)(v) = (A^T f_i e^i)(v) = (f_i A^T e^i)(v) $$

$$ = \left(f_i \sum_j (A^T)_i^j e^j\right)(v) = (f_i A_j^i e^j)(v) $$

$$ = (f_i A_j^i e^j)(v^k e_k) = f_i v^k A_j^i \delta_k^j $$

$$ = f_i v^k A_k^i = f_i A_k^i v^k = f_i (Av)^i = f(Av) $$

이 과정을 통해 $$ (A^T f)(v) = f(Av) $$ 임을 알 수 있고, 이는 $$ (\sub{[A^T]}{B^{\ast}} \sub{[f]}{B^{\ast}})( \sub{[v]}{B} ) = \sub{[f]}{B^{\ast}} (\sub{[A]}{B} \sub{[v]}{B}) $$ 에 해당한다.