- Fourier 변환에 대하여

1. 유한한 길이의 구간에서의 Fourier 급수로 표시되는 square integrable 함수 복소내적공간 $L^2[a, b]$ #

• 내적 정의: $$( f | g ) = \frac{1}{b-a} \int_a^b dx , f^*(x) g(x)$$

• 기저의 정규화: Kronecker delta 함수, 즉 $( e_m | e_n ) = \delta_{mn}$

여기에서 $e_n(x) = e^{i \frac{2 \pi}{(b-a)/n}x} = e^{i \frac{2n \pi}{b-a}x}$, 즉 $e_n(x) = e^{i \frac{2n \pi}{b-a}x}$

2. $\mathbb{R}$에서 Fourier 변환 형식으로 표현되는 square integrable 함수 복소내적공간 $L^2(\mathbb{R})$ #

변환 형식: 위치 $x \leftrightarrow$ 운동량 $p$ (또는 파수 $k$) 또는 시간 $t \leftrightarrow$ 각속도 $\omega$ (또는 진동수 $f$)

3. Dirac 표기법 사용 #

$( v | w )$ 에서 벡터는 $v, w$ 이고 Dirac 표기법 $\langle a | b \rangle$ 에서 벡터는 $\langle a |, |b \rangle$를 의미하며 $a, b$ 는 보통 고윳값을 의미하지만 때때로 함수로 변환될 때 이름으로 사용되기도 하나 여기서는 고윳값 의미로만 사용할 것이며, 이때 함수로 변환 시 $\psi_a$, $\phi_b$ 와 같이 나타낸다.

4. 함수와 Dirac 표기법 #

$\psi_\alpha (x) = \langle x | \alpha \rangle$, $\hat{x} | x \rangle = x | x \rangle$

5. $L^2(\mathbb{R})$의 함수를 벡터의 Dirac 표기를 이용하여 기저의 무한 선형결합 형식으로 나타내는 법 #

• 기저 선택: $|x\rangle$ 또는 $|p\rangle$ 를 이용할 수 있고 $|p\rangle$ 로 $|\alpha\rangle$을 나타내면 $$|\alpha\rangle = \int_{-\infty}^\infty dp , \phi_\alpha(p) |p\rangle$$ 이고, 이때 $|x\rangle$와 $|\alpha\rangle$의 내적을 취하면 $$\psi_\alpha(x) = \langle x | \alpha \rangle = \int_{-\infty}^\infty dp , \phi_\alpha(p) \langle x | p \rangle$$

• 내적 정의: $$\langle \alpha | \beta \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx , \psi_{\alpha}^*(x) \phi_{\beta}(x)$$

• 기저의 정규화: Dirac delta 함수, 즉 $\langle x | x’ \rangle = \delta(x-x’)$, $\langle p | p’ \rangle = \delta(p-p’)$

• $\langle x | p \rangle$: $$\langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i \frac{p}{\hbar} x} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i}{\hbar}px},$$

$$\langle p | x \rangle = \langle x | p \rangle^*$$

$\langle x | p \rangle$ 의 함수를 기억하는데 있어 도움을 드린다면 다음 사항을 먼저 기억한다. $$\hat{p} |p\rangle = p |p\rangle, \quad \langle x | \hat{p} |p\rangle = \hat{p}_x \langle x | p \rangle = p \langle x | p \rangle,$$

$$\hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

따라서 지수함수를 $x$에 대해 미분했을 때 $p$ 값이 남으려면 $e^{i \frac{px}{\hbar}}$이어야 하고, 정규화 상수는 $\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}$라고 기억하면 좋다.

보통 $i$인지 $-i$인지 헷갈릴 때, 미분 연산자로서의 운동량 연산자를 정확히 기억하면 $i$임을 알 수 있다.

따라서 $\langle p | x \rangle$ 의 경우 $-i$임을 알 수 있다.

• $\langle p | x \rangle$: 또한 $|\alpha\rangle$를 기저 $|x\rangle$의 무한 선형결합 형식으로 나타낼 수 있다. $$|\alpha\rangle = \int_{-\infty}^\infty dx , \psi_\alpha(x) |x\rangle,$$

같은 방법을 적용하면 $$\phi_\alpha(p) = \langle p | \alpha \rangle = \int_{-\infty}^\infty dx , \psi_\alpha(x) \langle p | x \rangle,$$

$$\langle p | x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{-i \frac{px}{\hbar}}$$