- 듀얼 기저 vs metric 듀얼

1. metric 듀얼의 정의 #

$L : V \to V^*, \quad v \mapsto \tilde{v}$, 여기에서 $\tilde{v}(w) = (v|w)$, $( \cdot | \cdot )$는 non-degenerate Hermitian form 이고 $\tilde{e}_i = L(e_i)$ 일때 이를 $e_i$의 metric dual 이라고 한다. metric이라는 말이 물리학적으로는 유클리드 공간이나 민코프스키 공간에서 주로 사용되나

수학적으로는 non-degenerate Hermitian form 을 갖춘 복소벡터공간도 metric 공간이므로 이런 의미에서 metric 이라는 수식어가 붙은 것 아닌가 한다.

즉, positive-definite non-degenerate Hermitian form(복소내적) 또는 민코프스키 metric을 갖춘 벡터공간에 대해 positive-definite non-degenerate Hermitian form 또는 민코프스키 metric을 이용하여 정의되는 듀얼을 metric 듀얼이라고 하는 것으로 보인다.

2. $e^i$ vs. $\tilde{e_i}=L(e_i)$ #

쌍대공간은 positive-definite non-degenerate Hermitian form 또는 민코프스키 metric 이 갖추어지지 않아도 존재하므로 이러한 벡터공간의 쌍대공간의 기저와 metric 듀얼의 관계에 대해 생각해 보면,

듀얼 기저 $e^i$는 $e^i(e_j) = \delta^i_j$ 이고 $\sub{\tilde{e}}{i}(e_j) = (e_i|e_j)$ 이므로 $(e_i \mid e_j) = \sub{\delta}{ij}$ 가 성립하면 $\sub{\tilde{e}}{i} = e^i$ 가 된다. 즉, 기저가 orthonormal 하되 $(e_i \mid e_i) = +1$ 을 만족할 때 듀얼기저와 metric 듀얼은 같게 된다.

따라서 민코프스키 공간은 듀얼기저와 metric 듀얼이 같은 벡터공간은 아니라는 것을 알 수 있다.

3. 덧붙이는 말 #

이 내용은 그다지 중요하지 않을 수 있지만 벡터공간의 듀얼기저와 내적공간 또는 metric 공간의 metric 듀얼 간의 차이를 이해하는 것은 나름 의미가 있으며 복소내적공간에서 conjugate-linear map 인 $L$을 통해 행렬의 Hermitian adjoint 개념을 정의할 수 있다.