- L²[a, b]에서의 디랙 델타 함수와 쌍대공간에서의 디랙 델타 범함수

1. 순수한 벡터공간으로서의 $L^2[a, b]$ #

• 실수 구간 $[a, b]$ 에서 square integrable 한 복소값을 갖는 함수의 모든 집합은 복소벡터공간을 이룬다.

• square integrable 함수 $f$ 의 의미 : $$ \int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty $$

2. 완비된 내적공간으로서의 $L^2[a, b]$, 즉 Hilbert 공간 #

• 내적의 정의 : $$ (f | g) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^*(x) g(x) dx $$

• 내적 관점에서 square integrable 의 의미 : $$ \int_a^b |f(x)|^2 dx = (f | f) = |f|^2 < \infty $$

즉, 벡터로서의 함수 $f$ 의 norm 제곱값이 무한대보다 작다, 즉 일정한 크기를 갖는 유한값이라는 의미이다.

3. $L^2[a, b]$ 의 벡터로서의 Fourier Series #

• orthonormal 기저의 선정 : $$ e_n(x) = e^{i \frac{2n \pi}{b-a} x} $$

• square integrable 한 $f(x)$ 의 표현 : $$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i \frac{2n \pi}{b-a} x} $$

• square integrable $f$ : $$ \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty $$

• 기저 관점에서의 내적의 정의 : $$ f = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e_n, \quad g = \sum_{n=-\infty}^\infty d_n e_n $$

$$ \implies (f | g) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n^* d_n $$

4. $L^2[a, b]$ 의 쌍대공간(Dual Space) 기저를 이용한 $c_n$ 구하기 #

$$ c_n = e^n(f) = (e_n | f) = \frac{1}{b-a} \int_a^b e^{-i \frac{2n \pi x}{b-a}} f(x) dx $$

5. $L^2[a, b]$ 내적공간에서의 양의 실수함수 Dirac delta function $\delta$ 와 쌍대공간에서의 Dirac delta functional $\tilde{\delta}$ #

$$ f(0) = \tilde{\delta}(f) = (\delta | f) $$

$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e_n, \quad e_n(0) = 1 $$

$$ \implies f(0) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n $$

따라서, $$ (\delta | f) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \implies \delta = \sum_{n=-\infty}^\infty e_n $$

그러나, $$ |\delta|^2 \to \infty $$ 로 발산하므로 square integrable 하지 않다. 이것을 달리 계산하면

$$ |\delta|^2 = (\delta | \delta) = \tilde{\delta}(\delta) = \delta(0) $$

그리고 이 값은 무한대로 발산하므로 $$ \delta(0) \text{의 값은 무한대로 발산한다.} $$

이것의 의미는 유한차원의 벡터공간과 쌍대공간은 일대일 대응하지만 무한차원의 벡터광간과 쌍대공간은 반드시 그렇지는 않다는 것이다.

이 경우 처럼 쌍대공간의 $\tilde{\delta}$ 범함수는 존재하지만 벡터공간의 대응되는 $\delta$ 함수는 존재하지 않는 경우도 있다.