- (1,1)텐서로서의 기저변환 행렬 A 에 대한 고찰

1. 선형연산자 U 와의 관계 #

기저 변환 행렬 $A$, 즉 $e_i = A e_{i’} = A_i^{j’} e_{j’}$는 이것이 unprimed, primed index를 모두 사용하는 표기이므로 표면적으로는 하나의 기저에 관한 표기가 아니기에 텐서가 아닌 것으로 보인다

그러나 $A$는 실질적으로 unprimed 기저에 대한 텐서라 할 수 있다.

$e_i = U e_i’$로 기저 변환하는 선형 연산자 $U$를 생각해보자. 선형 연산자는 $(1,1)$ 텐서이므로 $U_i^j = U(e_i, e^j)$로 표현할 수 있다.

$U$와 $A$의 관계를 알아보기 위해 $e_i = A_i^{k’} e_{k’}$의 관계식을 이용하여 전개하면

$$ U_i^j = U(e_i, e^j) = e^j (U e_i) = e^j (U A_i^{k’} e_{k’}) $$

$$ = A_i^{k’} e^j (U e_{k’}) = \sum_k A_i^{k’} e^j (e_k) $$

$$ = \sum_k A_i^{k’} \delta_k^j = A_i^{j’} $$

즉, $U_i^j = A_i^{j’}$이 성립함을 알 수 있다. 실질적으로 $A$는 unprimed 기저에서의 $(1,1)$ 텐서 $U$라 할 수 있다. 즉, $A_i^{j’}$은 $A_i^j$로 바꾸어 행렬을 구성하면 unprimed 기저에서의 기저 변환 행렬 $A$를 구성할 수 있고 $e_i = A e’_i$라 할 수 있다.

2. 덧붙이는 말 #

먼저 번 게시글에서 첨자에 prime을 붙이는 Schouten convention과 텐서식 첨자 표기법 그리고 아인슈타인 summation convention을 이용하여 직관적으로 기저 변환 행렬을 구성할 수 있음을 보인 적이 있는데, 이를 다시 Schouten convention을 이용하지 않는 행렬 표기로 바꾸어 표시할 수 있음을, 즉 하나의 기저에서의 행렬 표기로 바꿀 수 있음을 알 수 있다.