- identity 행렬의 텐서곱 표현과 디랙 표기의 관계

: 텐서곱 표현과 디랙 표기법 사이의 대응 관계에 대한 수학적 분석

1. 텐서 연산 #

$$(e^i \otimes e_j)(v,f) = e^i(v) e_j(f)$$

2. 선형연산자로서의 텐서 #

\begin{equation*} \begin{aligned} (e^i \otimes e_j)(\boldsymbol{v},f) &= f((e^i \otimes e_j)(\boldsymbol{v})) \\ \text{여기서 } (e^i \otimes e_j)(\boldsymbol{v}) = e^i(\boldsymbol{v}) e_j \text{ 라 정의하면} \\ &= f(e^i(\boldsymbol{v}) e_j) \\ &= e^i(\boldsymbol{v}) f(e_j) \\ \text{그리고 } f(e_j) = e_j(f) \text{ 관계를 이용하면} \\ &= e^i(\boldsymbol{v}) e_j(f) \end{aligned} \end{equation*}

3. metric 듀얼의 이용 #

$$(e^i(v) e_j(f) = (e_i | v) (e^j | f)$$

4. 텐서곱 내적의 정의 #

$$(v_1 \otimes w_1|v_2 \otimes w_2) = (v_1|v_2) (w_1|w_2)$$

5. 관계식 도출 #

$$(e^i \otimes e_j)(v,f) = e^i(v) e_j(f)$$

$$= (e_i|v) (e^j|f) = (e_i \otimes e^j|v \otimes f)$$

6. 선형연산자 성질을 이용한 identity 연산자의 텐서곱 표시 #

$$(e^i \otimes e_i)(v) = e^i(v) e_i = v^i e_i,$$

따라서,

$$\sum_i e^i \otimes e_i = I_{(1,1)} = I$$

7. 디랙표기에서의 identity 연산자 표시 #

$$\bra{a}\ket{b} = \sum_i a_i^* b_i = \sum_i \bra{a}\ket{i} \bra{i}\ket{b}$$

$$= \bra{a} \left( \sum_i \ket{i}\bra{i}\right) \ket{b},$$

따라서,

$$\sum_i \ket{i}\bra{i} = I$$

8. identity 행렬의 텐서곱 표시와 디랙표기 비교 #

$$I : \sum_i \ket{i}\bra{i}\quad \leftrightarrow \quad \sum_i e^i \otimes e_i$$

9. 참고할만한 텐서곱 표시와 디랙표기 비교 #

$$(e^i \otimes e_j)(v)=e^i(v) e_j = v^i e_j ,$$

한편,

$$\ket{j}\bra{i}\ket{a} = a_i \ket{j} ,$$

따라서,

$$\ket{j}\bra{i} \quad \leftrightarrow \quad e^i \otimes e_j$$