- 텐서 연산자
1. 리 군 표현
$D(\alpha)$는 리 군 $G$의 원소 $g$를 나타내며, 여기서 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_N)$이고, $g(0) = e$이므로 $D(0) = 1$입니다. 따라서,
$$D(d\alpha) = 1 + i d\alpha_a X_a$$
여기서,
$$X_a = -i \frac{\partial D(\alpha)}{\partial \alpha_a}$$
또한, 리 대수의 원소 $X$는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$X = \alpha_a X_a = \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{X}$$
2. 리 대수와 부분대수
$J_a$가 $G$의 리 대수의 원소이고, $X_a$가 부분대수의 원소라면,
$$[J_a, X_b] = i\ \epsilon_{abc} X_c$$
이는 다음을 만족합니다.
$$[J_a, X_q] = [J^{(k)}_a]_{q'q} X_{q'}$$여기서 $q,\ q’$는 1부터 $2k+1$까지의 범위를 가집니다.
3. 변환 특성
$$-i \frac{\partial}{\partial \alpha_a} e^{i \alpha_a J_a} X_q e^{-i \alpha_a J_a} \bigg|_{\alpha=0}$$ $$ = [J_a, X_q] = [J^{(k)}_a]_{q'q} X_{q'}$$따라서,
$$e^{i \alpha_a J_a} X_q e^{-i \alpha_a J_a} $$ $$= D^{\dagger}(R) X_q D(R) = [D^{(k)}(R^{-1})]_{q'q} X_{q'}$$4. 텐서 연산자의 정의
$X_q$ 대신 $T^{(k)}_q$를 대입하면, 텐서 연산자는 다음을 만족하는 연산자 $T^{(k)}_q$로 정의됩니다:
$$[J_a, T^{(k)}_q] = [J^{(k)}_a]_{q'q} T^{(k)}_{q'}$$ 또는,$$[J_a, T^{(k)}_q] = [J^{(k)}_a]^*_{qq'} T^{(k)}_{q'}$$ 동등하게,$$D^{\dagger}(R) T^{(k)}_q D(R) = [D^{(k)}(R^{-1})]_{q'q} T^{(k)}_{q'}$$ 또는,$$D^{\dagger}(R) T^{(k)}_q D(R) = [D^{(k)*}(R)]_{qq'} T^{(k)}_{q'}$$