- 모든 군 표현은 유니터리 표현과 동등하다

소개 #

이 글에서는 모든 군 표현이 유니터리 표현과 동등함을 증명할 것입니다. 이는 표현론에서 기본적인 결과로, 물리학과 수학에서 중요한 응용을 가지고 있습니다.

정의와 배경 #

1. 표현의 동등성: 두 표현 $A$와 $B$는 다음을 만족하는 가역 행렬 $X$가 존재할 때 동등합니다:

   $$A = XBX^{-1}$$

2. 에르미트 연산자: 우리가 사용할 핵심 성질은 모든 에르미트 연산자가 대각화 가능하다는 것입니다.

유니터리 표현과의 동등성 증명 #

군 $G$의 표현 $D$에 대해 연산자 $S$를 다음과 같이 정의합시다:

$$S = \sum_{g \in G} D(g)^{\dagger} D(g)$$

1단계: $S$가 에르미트이고 양의 정부호(positive definite)임을 보이기 #

$S^{\dagger} = S$이므로, 연산자 $S$는 에르미트입니다.

$S|\mu\rangle = \lambda|\mu\rangle$일 때, $\lambda$는 실수입니다(왜냐하면 $S$가 에르미트이기 때문). 또한, $D(e)=1$(여기서 $e$는 항등원)이므로:

$$\langle\mu|S|\mu\rangle = \sum_{g \in G} ||D(g)|\mu\rangle||^2 > 0$$

이는 $S$가 양의 정부호(positive definite)임을 증명합니다.

2단계: 유니터리 표현 구성하기 #

$S$가 에르미트이고 양의 정부호(positive definite)이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$S^{1/2} = UD^{1/2}U^{-1}$$

이제 새로운 표현 $D’$를 다음과 같이 정의합니다:

$$D’(g_1) = S^{1/2} D(g_1) S^{-1/2}$$

3단계: $D’$가 유니터리임을 확인하기 #

$D’$가 유니터리인지 $D’^{\dagger}(g_1)D’(g_1)$를 계산하여 확인해봅시다:

$$D’^{\dagger}(g_1)D’(g_1) = S^{-1/2} D^{\dagger}(g_1)SD(g_1) S^{-1/2}$$

$D^{\dagger}(g_1)SD(g_1)$를 분석해야 합니다:

$$D^{\dagger}(g_1)SD(g_1) $$ $$= D^{\dagger}(g_1)\left(\sum_{g \in G} D(g)^{\dagger} D(g)\right)D(g_1)$$

다음을 주목하세요: $$D^{\dagger}(g_1)D^{\dagger}(g) = (D(g)D(g_1))^{\dagger}$$ $$ = D^{\dagger}(gg_1) = D^{\dagger}(g’)$$

따라서:

$$D’^{\dagger}(g_1)D’(g_1)$$ $$ = S^{-1/2}\left(\sum_{g’ \in G} D(g’)^{\dagger} D(g’)\right)S^{-1/2}$$ $$ = S^{-1/2}SS^{-1/2} = I$$

이는 $D’(g_1)$이 유니터리임을 확인해줍니다.

결론 #

$D(g_1)$은 구성에 의해 $D’(g_1)$과 동등하고, $D’(g_1)$은 유니터리이므로, 우리는 모든 군 표현 $D(g_1)$이 유니터리 표현과 동등함을 증명했습니다. 이 결과는 표현론에서 기본적이며, 특히 양자역학에서 물리학의 광범위한 응용을 가지고 있습니다.