- 군 표현론에서의 직교성 관계
서론
이 문서는 유한 군의 기약 표현이 어떻게 작용하는지 이해하는 데 기본이 되는 군 표현론에서의 직교성 관계에 대해 탐구합니다.
이중선형 연산자와 변환 특성
먼저 이중선형 연산자를 정의합니다:
$$A^{ab}_{jl} = \sum_{g \in G} D_a(g^{-1})|a,j\rangle\langle b,l|D_b(g)$$이 연산자가 표현 행렬 $D_a(g_1)$에 의해 변환될 때:
$$D_a(g_1)A^{ab}_{jl} = \sum_{g \in G} D_a(g_1g^{-1})|a,j\rangle \langle b,l|D_b(g)$$$g’=g_1g^{-1}$로 치환하면, $g=g’^{-1}g_1$이 됩니다. 이를 통해 다음을 얻습니다:
$$\begin{align} D_a(g_1)A^{ab}_{jl} &= \sum_{g' \in G} D_a(g')|a,j\rangle\langle b,l|D_b(g'^{-1}g_1) \\ &= \sum_{g' \in G} D_a(g')|a,j\rangle\langle b,l|D_b(g')D_b(g_1) \\ &= A^{ab}_{jl}D_b(g_1) \end{align}$$슈어의 보조정리 적용
슈어의 보조정리에 의해 다음을 추론할 수 있습니다:
$$A^{ab}_{jl} = \delta_{ab} \lambda^a_{jl}I_{n_a}$$여기서 $I_{n_a}$는 차원 $n_a$의 항등 행렬입니다.
계수 $\lambda^a_{jl}$ 계산
$\lambda^a_{jl}$을 계산하기 위해 트레이스의 순환 특성 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$을 사용합니다.
원래 정의에서:
$$\text{tr}(A^{ab}_{jl})=\sum_{g \in G}\text{tr}(\langle b,l|D_b(g)D_a(g^{-1})|a,j\rangle)$$따라서:
$$\text{tr}(A^{ab}_{jl}) = \delta_{ab}\sum_{g \in G}\text{tr}(\langle a,l|a,j\rangle) = N \delta_{ab} \delta_{jl}$$여기서 $N$은 군 $G$의 위수입니다.
슈어의 보조정리 형태에서:
$$\text{tr}(A^{ab}_{jl}) = n_a \delta_{ab} \lambda^a_{jl}$$이 두 표현을 비교하면: $$\lambda^a_{jl} = \frac{N}{n_a} \delta_{jl}$$
직교성 관계
따라서: $$\sum_{g \in G} D_a(g^{-1})|a,j\rangle\langle b,l|D_b(g) = \frac{N}{n_a}\delta_{ab}\delta_{jl}I_{n_a}$$
행렬 요소를 취하고 기약표현이 유니타리한것을 고려하면: $$\langle a,k|\left(\sum_{g \in G} D_a^{\dagger}(g)|a,j\rangle\langle b,l|D_b(g)\right)|b,m\rangle$$ $$ = \frac{N}{n_a}\delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{km}$$
이는 다음과 같은 직교성 관계로 이어집니다:
$$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} [D_a(g)]^*_{jk}[D_b(g)]_{lm} = \delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{km}$$상태 벡터 또는 $g$의 함수 관점에서, $\sqrt{\frac{n_a}{N}}[D_a(g)]_{jk}$는 정규직교 기저를 형성합니다.
따름정리
완전한 정규직교 기저(상태 벡터 또는 $g$의 함수)의 요소 수를 세면 다음을 얻습니다:
$$N = \sum_i n_i^2$$
여기서 $N$은 $G$의 차수(order)이고, $n_i$는 기약 표현 $i$의 차원입니다.