- 군 표현에서의 캐릭터 이론
1. 캐릭터의 정의
표현 $D(g)$의 캐릭터는 표현 행렬의 대각합(trace)으로 정의됩니다:
$$\chi_D(g) = \text{Tr}(D(g))$$
2. 직교 관계
행렬 요소에 대한 직교 관계식:
$$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} [D_a(g)]^*_{jk}[D_b(g)]_{lm} = \delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{km}$$이로부터 캐릭터에 대한 직교 관계식을 유도할 수 있습니다:
$$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G, j, l} [D_a(g)]^*_{jj}[D_b(g)]_{ll} = \sum_{j, l}\delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{jl}$$즉:
$$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*\chi D_b(g) = n_a\delta_{ab}$$또는
$$\frac{1}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*\chi D_b(g) = \delta_{ab}$$이는 서로 다른 기약 표현에서 $g$의 캐릭터 함수들이 서로 직교함을 의미합니다.
3. 공액류(Conjugacy Classes)
공액류는 다음과 같이 정의됩니다:
$$S_{g_\alpha} = \{g g_1 g^{-1} : g \in G\}$$이로부터 $\chi D(g g_1 g^{-1}) = \chi D(g_1)$이 성립합니다.
따라서,
$$\frac{1}{N}\sum_{\alpha}k_\alpha \chi D_a(g_\alpha)^*\chi D_b(g_\alpha) = \delta_{ab}$$여기서 $k_\alpha = n(S_{g_\alpha})$는 공액류에 있는 원소의 개수입니다.
이로부터 공액류로 구분되는 새로운 군 $G_s$ 에 대해 그 군의 정규직교 기저 $|g_{\alpha}\rangle$ 를 생각할 수 있으며, $g_{\alpha}$ 에 대한 함수 $F(g_{\alpha})$ 가 $\chi D_a(g_{\alpha})$의 선형결합으로 표시할 수 있다는 것을 보이면 공액류 종류의 개수와 기약표현의 개수가 같음을 보일 수 있다.
4. 공액류에서 일정한 함수
공액류에서 일정한 함수에 대해:
$$F(g_1) = \sum_{a,j,l} C^a_{jl} [D_a(g_1)]_{jl}$$
다음이 성립합니다:
$$F(g_1) = \frac{1}{N}\sum_{g} F(g g_1 g^{-1})$$ $$= \frac{1}{N}\sum_{g,a,j,k,l,m} C^a_{jl} [D_a(g)]_{jk} [D_a(g_1)]_{km} [D_a(g)]^*_{lm}$$직교 관계에 의해:
$$F(g_1) = \sum_{a,j,k,l,m} \frac{1}{n_a}C^a_{jl} [D_a(g_1)]_{km} \delta_{jl} \delta_{km}$$따라서:
$$F(g_1) = \sum_{a,j,k} \frac{1}{n_a}C^a_{jj} [D_a(g_1)]_{kk}$$ $$ = \sum_{a} \frac{1}{n_a}\left(\sum_j C^a_{jj}\right) \chi D_a(g_1)$$그러므로 $\chi D_a(g)$는 공액류에서 일정한 함수들에 대한 완전 직교 기저를 형성합니다.
이로부터 다음 결과가 나옵니다: 공액류 종류의 개수 $=$ 기약 표현의 개수
5. 캐릭터를 이용한 직교 관계
다음으로부터:
$$\frac{1}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*\chi D_b(g) = \delta_{ab}$$다음을 얻습니다:
$$\sum_{\alpha} \frac{k_\alpha}{N}\chi D_a(g_\alpha)^*\chi D_b(g_\alpha) = \delta_{ab}$$다음과 같은 요소를 가진 정방행렬 $V$를 정의할 수 있습니다:
$$V_{a \alpha} = \sqrt{\frac{k_\alpha}{N}}\chi D_a(g_\alpha)$$따라서,
$$\sum_{\alpha}\frac{k_\alpha}{N} \chi D_a(g_\alpha)^*\chi D_a(g_\alpha) = 1$$로부터 $VV^{\dagger} = 1$을 얻고, 따라서, $V$는 유니타리 행렬입니다. 이때, 다음과 같은 직교 관계를 얻는데,
$$\sum_{\alpha}\frac{k_\alpha}{N} \chi D_a(g_\alpha)^*\chi D_b(g_\alpha) = \delta_{ab}$$이는 $V$의 열 벡터에 대한 것이며, 이는 $V^{\dagger}V = 1$의 관계를 통해 $V$의 행 벡터에 대한 직교 관계가 존재함을 의미합니다:
$$\frac{k_\alpha}{N}\sum_{a} \chi D_a(g_\alpha)^*\chi D_a(g_\beta) = \delta_{\alpha\beta}$$6. 차원 공식
$\sqrt{\frac{n_a}{N}}[D_a(g)]_{jk}$가 정규직교 기저를 형성하므로, 기약 표현 $D_a(g)$는 정규표현(regular representation)의 완전기약표현(completely irreducible representation)에서 $n_a$번 나타납니다. 그리고 다음으로부터:
$$\frac{1}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*\chi D_b(g) = \delta_{ab}$$다음을 얻습니다:
$$n_a = \frac{1}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*\chi D(g)$$
7. 투영 연산자 $P_a$
다음으로부터:
$$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} [D_a(g)]^*_{jk}[D_b(g)]_{lm} = \delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{km}$$다음을 유도할 수 있습니다:
$$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} [D_a(g)]^*_{jj}[D_b(g)]_{lm} = \delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{jm}$$ $$\frac{n_a}{N}\sum_{g,j} [D_a(g)]^*_{jj}[D_b(g)]_{lm} = \sum_{j} \delta_{ab}\delta_{jl}\delta_{jm}$$ $$\frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*[D_b(g)]_{lm} = \delta_{ab}\delta_{lm}$$이는 투영 연산자가 다음과 같이 정의될 수 있음을 의미합니다:
$$P_a = \frac{n_a}{N}\sum_{g \in G} \chi D_a(g)^*D(g)$$